Paderborner Weierstraß-Jahr 2015


Die Millionen Dollar-Probleme der Mathematik

Einladung - Millionen-Dollar-Probleme der Mathematik

Zu den Aktivitäten des Paderborner Weierstraß-Jahres zählt eine Vortragsreihe über die Millionen-Dollar-Probleme der Mathematik. Im Jahr 2000 hat das Clay Mathematics Institute (CMI) eine Gruppe führender Mathematiker beauftragt, die sieben wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik zu identifizieren. Für die Lösung jedes dieser mathematischen Probleme hat das CMI ein Preisgeld von einer Million US-Dollar ausgelobt.

Die Vortragsreihe richtet sich an interessierte Schülerinnen und Schüler, Lehrerinnen und Lehrer sowie Studierende. Mathematiker der Universität Paderborn werden diese Probleme erläutern.

Das Clay Mathematics Institute (CMI)

Das Clay Mathematics Institute wurde 1998 von dem Bostoner Geschäftsmann Landon T. Clay gegründet. Das Ziel des Instituts ist es, für die „Vermehrung und Verbreitung des mathematischen Wissens“ zu sorgen.


Vortragsreihe über die Millionen Dollar-Probleme

Die Poincaré-Vermutung
Professor Dr. Joachim Hilgert

Die Kugeloberfläche lässt sich unter den Oberflächen von Körpern endlicher Ausdehnung bis auf stetige Verformungen dadurch charakterisieren, dass man auf ihr jede Schleife auf einen Punkt zusammenziehen kann. Im Jahr 1904 stellte Henri Poincaré die Vermutung auf, dass auch das dreidimensionale Analogon dieser Aussage richtig ist. Die Vermutung wurde 2002 von Grigori Perelman bewiesen.

Die Hodge-Vermutung
Professor Dr. Torsten Wedhorn

Im 20. Jahrhundert entdeckten Mathematiker leistungsfähige Methoden, komplizierte geometrische Objekte zu studieren, indem sie diese durch einfache „Bausteine“ annähern. Die Hodge-Vermutung sagt aus, dass für eine besonders wichtige Klasse geometrischer Objekte man Bausteine nehmen kann, die schon selbst wesentliche Aspekte der geometrischen Struktur in sich tragen. Ein Beweis dieser Vermutung wäre ein Meilenstein für das Verständnis geometrischer Objekte.

Die Vermutung von Brich und Swinnerton-Dyer
Professor Dr. Torsten Wedhorn

Seit Jahrtausenden beschäftigen sich Mathematiker damit, ganzzahlige Lösungen für Gleichungen zu finden. Eine Erkenntnis des 19. und 20. Jahrhunderts war, dass viele wichtige solcher Gleichungen auf das Studium geometrischer Objekte, nämlich von Kurven, führen. Einige dieser Kurven, die elliptischen Kurven, sind besonders rätselhaft und wichtig. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, dass es einen engen Zusammenhang zwischen der Anzahl von Lösungen solcher Gleichungen und den Nullstellen gewisser Funktionen (deren Studium einfacher ist) gibt. Die Vermutung verbindet somit drei unterschiedliche Welten, nämlich Zahlentheorie, Geometrie und Analysis.

Yang-Mills-Quantentheorie
Professor Dr. Christian Fleischhack

Die mathematische Theorie der Elementarteilchen und der zwischen ihnen wirkenden Kräfte ist weit fortgeschritten, aber auch unvollständig. Sehr erfolgreich in der Quantentheorie ist eine auf Yang und Mills zurückgehende geometrische Methode. In ihrer Anwendung auf die starke Wechselwirkung, die Quarks zu Kernteilchen bindet, sind grundlegende Fragen unbeantwortet. Warum ist die Reichweite der starken Wechselwirkung so kurz? Diese Frage hängt mit dem Problem der Existenz eines Massensprunges zusammen.

Die Navier-Stokes-Gleichungen
Professor Dr. Sönke Hansen

Die Gleichungen von Navier und Stokes sind die Grundgleichungen für das Fließen von Wasser und das Strömen von Gasen. Es gibt keinen Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen dieser Gleichungen bei gegebenen Anfangsbedingungen. Von einem Beweis erwartet man ein tieferes Verständnis der Bewegung von Flüssigleiten, insbesondere von turbulenten Strömungen.

P=NP?
Professor Dr. Johannes Blömer

Gibt es Probleme, bei denen die Suche nach einer Lösung durch einen Computer beweisbar enorm zeitintensiv ist, aber eine vorliegende Lösung schnell verifiziert werden kann? Es scheint plausibel, dass die Antwort „Ja“ ist, aber ein Beweis  scheint in weiter Ferne zu liegen. „P=NP?“ ist das wichtigste offene Problem der theoretischen Informatik.

Die Riemann'sche Vermutung
Professor Dr. Torsten Wedhorn

Bereits Euklid hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Aber wie viele aller Zahlen sind Primzahlen? Riemann zeigte, dass diese Frage eng mit den Nullstellen einer Funktion, der Riemann’schen Zetafunktion, verbunden ist. Er vermutete, dass alle interessanten Nullstellen auf einer gewissen Geraden liegen. Ein Beweis dieser Vermutung würde eine Vielzahl von Geheimnissen über die Verteilung von Primzahlen erhellen.

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